第 015 题 / 121

【第一期 · 原第15题】
椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点 $A\left(2,1\right)$．

(1)求椭圆 $C$ 的方程和长轴长；

(2)点 $M, N$ 在 $C$ 上，且 $AM \bot AN$．证明：直线 $MN$ 过定点．