第 016 题 / 121

【第一期 · 原第16题】
已知椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$ 的左,右焦点分别为 $F_1,F_2$ ,下顶点为 $A$ ,离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}, P, Q$ 是椭圆 $C$ 上的动点,且当 $PF_1 \bot F_1F_2$ 时, $|PF_1| = 1$ .

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)若 $\angle PAQ$ 的平分线经过点 $F_1$ ，

①证明:直线 $PQ$ 恒过定点；

②求 $\triangle APQ$ 面积的最大值.