第 017 题 / 121

【第一期 · 原第17题】
已知椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴长为 $4$。

(1)求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)已知动直线 $l$ 过曲线 $C$ 的左焦点 $F$，且与椭圆 $C$ 分别交于 $P, Q$ 两点，试问 $x$ 轴上是否存在定点 $R$，使得 $\overrightarrow{RP} \cdot \overrightarrow{RQ}$ 为定值? 若存在, 求出该定点坐标; 若不存在, 请说明理由.