第 018 题 / 121

【第一期 · 原第18题】
在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 经过点 $\left( \sqrt{2}, - 1\right)$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . 动直线 $l : y = kx + m\left( m \neq 0\right)$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点,点 $M$ 满足 $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}$ .

(1)求 $C$ 的标准方程;

(2)记四边形 $OPMQ$ 的面积为 $S$ .

① 若点 $M$ 恰好在 $C$ 上，求 $S$ 的值；

②若 $S = 2\sqrt{2}$ ,问: 在 $x$ 轴上是否存在两个定点 $A_{1},A_{2}$ ,使得对每个满足条件的动点 $M$，直线 $MA_{1},MA_{2}$ 均与 $y$ 轴有唯一交点，分别记为 $B_{1},B_{2}$,且 $\overrightarrow{OB_{1}} \cdot \overrightarrow{OB_{2}}$ 为定值? 若存在,求出 $A_{1},A_{2}$ 的坐标; 若不存在,请说明理由.