第 019 题 / 121

【第一期 · 原第19题】
如图,已知 $A, B$ 分别为椭圆 $M : \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ 的左,右顶点, $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 为椭圆 $M$ 上异于点 $A, B$ 的动点,若 ${AB} = 6$ ,且直线 ${AP}$ 与直线 ${BP}$ 的斜率之积等于 $- \frac{4}{9}$ .

(1)求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)过动点 $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 作椭圆 $M$ 的切线，分别与直线 $x = - a$ 和 $x = a$ 相交于 $D$ ， $C$ 两点，记四边形 ${ABCD}$ 的对角线 ${AC}$ ， ${BD}$ 相交于点 $N$ ,问: 是否存在两个定点 ${F}_{1},{F}_{2}$ ,使得 $\left| {N{F}_{1}}\right| + \left| {N{F}_{2}}\right|$ 为定值? 若存在,求 ${F}_{1},{F}_{2}$ 的坐标; 若不存在, 说明理由.