第 022 题 / 121

【第一期 · 原第22题】
已知 $F$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)$ 的左焦点，椭圆 $C$ 过点 $P(2,\sqrt{2})$ ，且直线 $PF$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)若点 $M(x_{1},y_{1})$ ， $N(x_{2},y_{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\angle MFN = 90^{\circ}$ ，过 $M$ ， $N$ 分别作椭圆 $C$ 的切线 $l_{1},l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $Q$ ，

(i) 求点 $Q$ 的轨迹方程;

(ii) 求 $\triangle PQF$ 周长的最小值.