第 023 题 / 121

【第一期 · 原第23题】
已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > 0, b > 0\right)$ 的焦距为 $4$，且经过点 $\left( \sqrt{2},\sqrt{3}\right)$ .

(1)求 $C$ 的方程；

(2)若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，求 $\left| AB\right|$ 的取值范围；

(3)已知点 $P$ 是 $C$ 上的动点，是否存在定圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}\left( r > 0\right)$，使得当过点 $P$ 能作圆 $O$ 的两条切线 $PM,PN$ 且两切线都与 $C$ 存在异于 $P$ 的另一交点时（分别记为 $M,N$），总满足 $\left| PM\right| = \left| PN\right|$？若存在，求出圆 $O$ 的半径 $r$；若不存在，请说明理由.