第 024 题 / 121

【第一期 · 原第24题】
已知双曲线 $C : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > 0, b > 0\right)$ 的右焦点 $F\left( 2,0\right)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)求 $C$ 的方程；

(2)设点 $P$ 在 $C$ 的右支上,过点 $P$ 作圆 $O : x^2 + y^2 = \frac{3}{2}$ 的两条切线,一条与 $C$ 的左支交于点 $M$ ,另一条与 $C$ 的右支交于点 $N$ (异于点 $P$ ).

( i ) 证明: $OM \bot OP$ ;

(ii) 当 $\bigtriangleup PMN$ 的面积最小时,求直线 $PM$ 和直线 $PN$ 的方程.