第 025 题 / 121

【第一期 · 原第25题】
已知椭圆 $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的左焦点 $F_{1}\left( -2,0\right)$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，上顶点为 $P,\cos \angle APB = - \frac{1}{3}$ .

(1)求椭圆 $E$ 的方程；

(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 $E$ 恒有两个交点 $M, N$ ，且 $\overrightarrow{OM} \bot \overrightarrow{ON}$ ？若存在，求圆的方程以及 $\left| MN\right|$ 的取值范围,若不存在,请说明理由.