第 030 题 / 121

【第二期 · 原第5题】
已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的短轴长为 2,点 $P$ 为椭圆上异于短轴端点的一点,且点 $P$ 与短轴两顶点连线的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .

(1)求椭圆 $E$ 的标准方程;

(2) 若 $A, B, C$ 为椭圆上不重合的三点,且 $\bigtriangleup {ABC}$ 的外接圆圆心为 $M\left( 1,0\right)$ .

(i) 求 $\bigtriangleup {ABC}$ 外接圆半径的取值范围;

(ii) 求 $\bigtriangleup {ABC}$ 面积的最大值.