第 034 题 / 121

【第二期 · 原第9题】
已知椭圆 $\Gamma : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的左顶点为 $A$ ,下顶点为 $B$ ,长轴长为 4,且过点 $\left( 1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

(1)求 $\Gamma$ 的方程；

(2)点 $P$ 为椭圆 $\Gamma$ 在第一象限上任一点，直线 $AP$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，直线 $BP$ 交 $x$ 轴于点 $D$ .

(i) 若四条直线 $AP,BP,AB,CD$ 的斜率分别记为 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$ ,证明: $k_{1}k_{2} = k_{3}k_{4}$ ;

(ii) 记 $\triangle PCD$ 的面积为 $S_{1}$ ,四边形 $ABDC$ 的面积为 $S_{2}$ ,求 $\dfrac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值.