第 035 题 / 121

【第二期 · 原第10题】
已知双曲线 $\Gamma : x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 右支于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方），点 $C$ 在双曲线 $\Gamma$ 的右支上，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$（点 $Q$ 在点 $F$ 的右侧）。

(1) 求双曲线 $\Gamma$ 的渐近线方程；

(2) 若点 $A(2,3)$，且 $\tan \angle BAC = \dfrac{1}{2}$，求点 $C$ 的坐标；

(3) 若 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，记 $\triangle AFG$、$\triangle CQG$ 的面积分别为 $S_1$、$S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值。