第 036 题 / 121

【第二期 · 原第11题】
已知椭圆 $C : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，短轴长为 $2\sqrt{3}$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 记 $C$ 的左顶点为 $A$，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $AP, AQ$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{4}$.

(i) 证明: 直线 $l$ 过定点;

(ii) 若 $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $PF_{1}$ 与圆 $M : {\left( x + 1\right)}^{2} + y^{2} = 16$ 交于点 $B$，点 $B$ 在 $x$ 轴上方. 是否存在点 $P$，使得 $\triangle PBF_{2}$ 与 $\triangle QF_{1}F_{2}$ 的面积之比为 $3 : 5$? 若存在，求出点 $P$ 坐标; 若不存在，说明理由.