第 037 题 / 121

【第二期 · 原第12题】
椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的左顶点为 $A$ ,右顶点为 $B$ ,满足 $\left| AB\right| = 4$ ,且椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)已知点 $T\left( t,\frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 的内部，直线 $AT$ 和直线 $BT$ 分别与椭圆 $E$ 交于另外的点 $C$ 和点 $D$ ,若 $\bigtriangleup CDT$ 的面积为 $\frac{1}{17}$ ， 求 $t$ 的值.