第 038 题 / 121

【第二期 · 原第13题】
已知双曲线 $\Gamma : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\ (a > 0, b > 0)$，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l_{1}$ 与双曲线 $\Gamma$ 的右支交于 $P, Q$ 两点. 设 $PQ$ 的中点为 $M$，且当直线 $l_{1}$ 的斜率为 $1$ 时，点 $M$ 的坐标为 $(3,1)$.

(1) 求双曲线 $\Gamma$ 的标准方程；

(2) 直线 $l_{2}$ 上有两点 $R,\ S$ 满足：$\overrightarrow{OR} = \lambda \overrightarrow{OP} + \mu \overrightarrow{OQ},\ \overrightarrow{OS} = \mu \overrightarrow{OP} + \lambda \overrightarrow{OQ}$，其中 $\lambda\mu<0$ 且 $\lambda+\mu>0$，$O$ 为坐标原点. 已知点 $R$ 在双曲线 $\Gamma$ 上.

(i) 证明：点 $S$ 也在双曲线 $\Gamma$ 上；

(ii) 设点 $T(0,1)$，设 $RS$ 的中点为 $N$，固定 $t=\lambda+\mu$，让直线 $l_1$ 在所有满足题设的焦点弦中变化，$\lambda,\mu$ 随之变化并始终满足上述条件。若 $\triangle TMN$ 的面积的最小值为 $5$，求 $t$ 的值.