第 039 题 / 121

【第二期 · 原第14题】
已知椭圆 $C : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的长轴长为 4，焦距为 $2\sqrt{2}$，过点 $P\left( 1,0\right)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $AD \bot x$ 轴，交椭圆 $C$ 于另一点 $D$（异于点 $A, B$）.

(1)求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)证明：直线 $BD$ 过定点 $M$，并求点 $M$ 的坐标；

(3)求 $\triangle ABM$ 面积的取值范围.