第 040 题 / 121

【第二期 · 原第15题】
已知椭圆 $C : \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, A, B$ 分别是椭圆 $C$ 的右顶点,上顶点,且 $|AB| = \sqrt{10}$ .

(1)求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)过点 $P(3,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，其中点 $M$ 在第一象限，点 $N$ 不在 $y$ 轴上，设直线 $BM, BN$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ .

(i) 求证: $\dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$ 为定值;

(ii) 设直线 $BM$ 与 $x$ 轴交于点 $T$ ,求 $\triangle BNT$ 的面积 $S$ 的最大值.