第 042 题 / 121

【第二期 · 原第17题】
已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的焦距为 $2, M\left( 1,\frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $E$ 上一点.

(1) 求 $E$ 的方程;

(2) 椭圆 $E$ 的左、右顶点为 $A, B$ ,直线 $l$ 与 $E$ 交于不同的两点 $C, D$ (不与 $A, B$ 重合),直线 $AC$ 与直线 $BD$ 的斜率满足 $k_{AC} = 3k_{BD}$ ,且直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $G$ ,直线 $AD$ 与直线 $BC$ 交于点 $H$ .

① 求证:直线 $GH$ 为定直线；

② 求四边形 $GHCD$ 面积 $S$ 的最小值.