第 043 题 / 121

【第二期 · 原第18题】
已知椭圆 $C$ 过点 $P\left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，且与双曲线 $4x^2 - \frac{4}{3}y^2 = 1$ 有相同的焦点.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)如图，$A$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，$MN$ 为椭圆 $C$ 上的两点，点 $N$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $N'$，设 $MN'$ 的中点为点 $T$.

①设 $T\ne O$，且直线 $OT$、$MN'$ 的斜率均存在，分别记为 $k_0,k$，求 $kk_0$ 的值；

②若射线 $AF_1$ 为 $\angle MAN$ 的平分线，求 $|AT|$ 的取值范围.