第 044 题 / 121

【第二期 · 原第19题】
已知椭圆 $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > b > 0\right)$ 过点 $(0,1)$，且焦距为 $2\sqrt{3}$。

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2) 过点 $S(1,0)$ 作两条互相垂直的弦 $AB, CD$，设弦 $AB, CD$ 的中点分别为 $M, N$。

① 证明：直线 $MN$ 必过定点；

② 若弦 $AB, CD$ 的斜率均存在，求 $\triangle MNS$ 面积的最大值。