第 045 题 / 121

【第二期 · 原第20题】
已知平面内的动点 $P(x, y)$ 到点 $F(\sqrt{5},0)$ 的距离与到直线 $l_{1} : x = \frac{9\sqrt{5}}{5}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ,记动点 $P$ 的轨迹为 $C_{1}$ .

(1) 求 $C_{1}$ 的方程;

(2)
(i) 已知点 $T(1,1)$ ,若在 $C_{1}$ 上存在一点 $M$ ,使 $\sqrt{5}|MT| + 3|MF|$ 的值最小,求这个最小值;

(ii) 已知双曲线 $C_{2} : x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ,点 $Q$ 是曲线 $C_{1}$ 上的动点、过 $Q$ 作双曲线 $C_{2}$ 两条渐近线的垂线,垂足分别为 $M\text{ 、 }N$ ,$R$ 是线段 $MN$ 的中点. 求出动点 $R$ 的轨迹方程及 $\triangle QRN$ 面积的最大值.