第 046 题 / 121

【第二期 · 原第21题】
已知椭圆 $C : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为 $2\sqrt{2}$。

(1) 求 $C$ 的标准方程；

(2) $P$ 为 $C$ 上一点且在第一象限，点 $M(-2,0)$，$N(2,0)$，延长 $PM$，$PN$ 分别交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点。

(i) 若 $\overrightarrow{PM} = 5\overrightarrow{MA}$，求直线 $AB$ 的斜率；

(ii) 连接 $AN,BM$，记 $\triangle PMB$ 的面积为 $S_{1}$，$\triangle PAN$ 的面积为 $S_{2}$，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值。