第 048 题 / 121

【第二期 · 原第23题】
已知椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$，短轴长为 2，左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $W$ 交于 $M, N$ 两点，其中 $M, N$ 分别在 $x$ 轴上方和下方，$\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PF_{1}},\overrightarrow{NQ} = \overrightarrow{QF_{1}}$，直线 $PF_{2}$ 与直线 $MO$ 交于点 $G_{1}$，直线 $QF_{2}$ 与直线 $NO$ 交于点 $G_{2}$：

(1) 若 $\triangle MNF_{1}$ 的周长是 $4\sqrt{2}$，求椭圆 $W$ 的方程；

(2) 若 $a = \sqrt{2}$，定点 $B$ 在 $y$ 轴的负半轴，过 $B$ 的动直线交椭圆 $W$ 于点 $C, D$，以 $CD$ 为直径的圆恒过 $x$ 轴上方的定点 $A$，求点 $A$ 的坐标；

(3) 若对任意满足上述条件的焦点弦 $MN$，均有 $4S_{\triangle MNG_{2}} \leq 3S_{\triangle NF_{1}G_{1}} \leq 5S_{\triangle MNG_{2}}$，求实数 $a$ 的取值范围.