第 049 题 / 121

【第二期 · 原第24题】
已知椭圆 $C : \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,左、右焦点分别是 ${F}_{1},{F}_{2}$ ,过 ${F}_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, $\bigtriangleup M{F}_{1}N$ 的周长为 $4\sqrt{2}$ .

(1)求 $C$ 的标准方程；

(2)若 ${OM} \bot {ON}$ ，记线段 ${MN}$ 的中点为 $R$ .

( i ) 求 $R$ 的坐标;

(ii ) 过 $R$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, ${PQ},{PN}$ 的中点分别是 $S$ 和 $T$ ,求 $\bigtriangleup {RST}$ 面积的最大值.