第 051 题 / 121

【第二期 · 原第26题】
已知 $O$ 为坐标原点，点 $W$ 为 $\odot O : x^2 + y^2 = 4$ 和 $\odot M$ 的公共点，$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OW} = 0$，$\odot M$ 与直线 $x + 2 = 0$ 相切，记动点 $M$ 的轨迹为 $C$．

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 若 $n > m > 0$，直线 $l_1 : x - y - m = 0$ 与 $C$ 交于点 $A, B$，直线 $l_2 : x - y - n = 0$ 与 $C$ 交于点 $A', B'$，点 $A, A'$ 在第一象限，记直线 $AA'$ 与 $BB'$ 的交点为 $G$，直线 $AB'$ 与 $BA'$ 的交点为 $H$，线段 $AB$ 的中点为 $E$．

① 证明：$G, E, H$ 三点共线；

② 若 $(m + 1)^2 + n = 7$，过点 $H$ 作 $l_1$ 的平行线，分别交线段 $AA', BB'$ 于点 $T, T'$，求四边形 $GTET'$ 面积的最大值．