第 053 题 / 121

【第二期 · 原第28题】
对任意平面向量 $\overrightarrow{AB} = (x, y)$，把 $\overrightarrow{AB}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到向量 $\overrightarrow{AP} = (x\cos \theta - y\sin \theta, x\sin \theta + y\cos \theta)$，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到点 $P$.

(1) 已知平面内点 $A(1,2)$，点 $B(1 + \sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2})$，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{4}$ 后得到点 $P$，求点 $P$ 的坐标；

(2) 若曲线 $\Gamma: x^{2} - y^{2} = 2$ 上的每一点绕原点逆时针旋转 $\frac{\pi}{4}$ 后得到曲线 $C$.

(i) 求曲线 $C$ 的方程；

(ii) 已知点 $D, E, F$ 在曲线 $C$ 上按逆时针排列，$DE \bot DF$ 且有 $|DE| = |DF|$，求直线 $DE$ 斜率的取值范围.