第 054 题 / 121

【第二期 · 原第29题】
已知直线 $l_{1} : y = x$ 与 $l_{2} : y = -x$ ,直线 $l$ 与 $l_{1}\text{ 、 }l_{2}$ 分别交于 $M\text{ 、 }N$ 两点, $O$ 为坐标原点, $\triangle OMN$ 的面积为 $S$ .

(1)当直线 $l$ 为 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线时,求 $S$ 的最小值;

(2)若 $S = 4$ ,点 $P$ 为线段 $MN$ 的中点,

(i) 求动点 $P$ 的轨迹 $\Gamma$ 的方程;

(ii) 当直线 $l$ 与轨迹 $\Gamma$ 仅有三个公共点 $A\left( {x_{1},y_{1}}\right) \text{ 、 }B\left( {x_{2},y_{2}}\right) \text{ 、 }C\left( {x_{3},y_{3}}\right) \left( {x_{1} < x_{2} < x_{3}}\right)$ 时, $\cos \angle AOC$ 是否存在最大值? 若存在,求出此时 $\cos \angle AOC$ 的值; 若不存在,请说明理由.