第 055 题 / 121

【第二期 · 原第30题】
已知椭圆 $C : \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ ，点 $P$ 是椭圆上的动点， ${F}_{1},{F}_{2}$ 是左、右焦点， $G$ 是 $\bigtriangleup P{F}_{1}{F}_{2}$ 的重心，且 $G$ 到点 $M\left( {-\frac{1}{3},0}\right)$ 与点 $N\left( {\frac{1}{3},0}\right)$ 的距离之和为 $\frac{4}{3}$ .

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)若直线 $l$ 过点 $P\left( {4,0}\right)$ ，与椭圆交于 $A, B$ 两点. 若 $\left| {AP}\right| ,\left| {AB}\right| ,\left| {BP}\right|$ 成等比数列，求 $\cos \angle A{F}_{2}B$ 的值.