第 058 题 / 121

【第三期 · 原第3题】
已知椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,点 $A\left( 0,1\right)$ 在 $C$ 上.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2)过点 $E\left( 0, - \frac{3}{5}\right)$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点.

(i) 求证: 以 $MN$ 为直径的圆过定点;

(ii) 当直线 $MN$ 的斜率存在时,记 $\bigtriangleup AMN$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R, r$ ,且 $\sqrt{2}\left( r + R\right) = \left| MN\right|$ ,求直线 $MN$ 的斜率.