第 059 题 / 121

【第三期 · 原第4题】
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点,焦点在 $x$ 轴上,离心率等于 2,右焦点 $F$ 到其渐近线的距离等于 $\sqrt{3}$ .

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)经过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，以 ${AB}$ 为直径的圆记作 $\odot M$ .

(i) 求证: $\odot M$ 恒过某个定点,并求出此定点的坐标;

(ii) 是否存在某个定圆与 $\odot M$ 相切,若存在,请求出此定圆的方程,若不存在,请说明理由.