第 060 题 / 121

【第三期 · 原第5题】
$P$ 为椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1(a > 1)$ 上异于顶点的动点,且 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2},{F}_{1},{F}_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点, $M$ 为 $C$ 的左顶点,记 $\angle P{F}_{1}{F}_{2} = \alpha,\angle P{F}_{2}{F}_{1} = \beta$ .

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 求证: $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\sqrt{3} - 2\cos \alpha}{2\cos \beta - \sqrt{3}}$ ;

(3)设点 $T(t,0) (-2 < t < 0)$ ,过点 $T$ 作一条不与坐标轴垂直的直线 $l$ ,交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点,再过点 $T$ 作一条垂直于 $x$ 轴的直线分别交直线 $MA,MB$ 于点 $D, E$ . 问是否存在 $t$ ,使得 $O, D, M, E$ 四点共圆 $(O$ 为坐标原点)? 若存在, 求出 $t$ 的值,若不存在,请说明理由.