第 061 题 / 121

【第三期 · 原第6题】
已知椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，焦距为 4，且椭圆 $C$ 过点 $(2,\sqrt{2})$，椭圆的下顶点为 $E$ .

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)过右焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的上方)，与 $y$ 轴交于点 $P$ (点 $P$ 在点 $E$ 的下方)，点 $Q$ 为点 $P$ 关于原点的对称点， $QB$ 交 $x$ 轴于点 $R$ ，设 $\triangle PBQ,\triangle BF_2Q,\triangle AF_2Q$ 的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$ .

①若直线 $l$ 的斜率为 2，求 $\frac{S_1 + S_3}{S_2 + S_3}$ 的值；

②是否存在直线 $l$ ，使 $Q$ ， $R$ ， $F_2$ ， $A$ 四点共圆？若存在，试判断直线 $l$ 的条数；若不存在，请说明理由.