第 062 题 / 121

【第三期 · 原第7题】
已知椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}\left( -2,0\right) ,F_{2}\left( 2,0\right) , P$ 是圆 $x^2 + y^2 - 4x - 32 = 0$ 上一点,线段 $PF_{2}$ 与 $C$ 交于点 $Q$ ,且 $\left| PQ\right| = \left| F_{1}Q\right|$ .

(1)求 $C$ 的标准方程；

(2)设 $O$ 为坐标原点， $D\left( -3,0\right)$ ，直线 $x = ty + 2\left( t \neq 0\right)$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $N$ ， $\triangle ABD$ 的外心为 $M$ ， 直线 $OM$ 的斜率为 $k_{1}$ ,直线 $ON$ 的斜率为 $k_{2}$ .

(i) 试用 $t$ 表示点 $N$ 的坐标;

(ii) 试判断 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值. 若是,求出该定值; 若不是,请说明理由.