第 064 题 / 121

【第三期 · 原第9题】
已知椭圆 $M : \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，焦距为 $2\sqrt{2}$。斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $A$、$B$。

(I) 求椭圆 $M$ 的方程；

(II) 若 $k = 1$，求 $|AB|$ 的最大值；

(III) 设 $P(-2,0)$，直线 $PA$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $C$，直线 $PB$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $D$。若 $C$、$D$ 和点 $Q\left(-\dfrac{7}{4},\dfrac{1}{4}\right)$ 共线，求 $k$。