第 065 题 / 121

【第三期 · 原第10题】
已知椭圆 $W : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的短轴长为 2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$．

(1) 求 $W$ 的方程；

(2) 若直线 $l : y = kx + t\left(t \neq 0\right)$ 与 $W$ 相交于 $A, B$ 两点，线段 $AB$ 的中点在直线 $x + 4y = 0$ 上．

(i) 求 $k$；

(ii) 已知点 $P\left(4,0\right)$，$PA$ 与 $W$ 的另一个交点为 $C$，$PB$ 与 $W$ 的另一个交点为 $D$．证明：直线 $CD$ 过定点．