第 066 题 / 121

【第三期 · 原第11题】
已知椭圆 $E : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\ (a > b > 0)$ 的焦距为 $2\sqrt{3}$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，直线 $l : y = k(x + 1)\ (k > 0)$ 与 $E$ 交于不同的两点 $M, N$。

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 设点 $P(1,0)$，直线 $PM, PN$ 与 $E$ 分别交于点 $C, D$。

① 判断直线 $CD$ 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；

② 记直线 $CD, MN$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$，当 $\alpha - \beta$ 取得最大值时，求直线 $CD$ 的方程。