第 067 题 / 121

【第三期 · 原第12题】
已知圆 $E : (x + 3)^{2} + y^{2} = 16$ 和定点 $F(3,0)$，动点 $P$ 是圆 $E$ 上使下述交点存在的任意一点，线段 $PF$ 的垂直平分线与直线 $PE$ 交于点 $Q$，设曲线 $\Gamma$ 为点 $Q$ 的轨迹.

(1) 求曲线 $\Gamma$ 的方程；

(2) 设 $R(0,2)$，斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $AR, BR$ 分别与曲线 $\Gamma$ 交于 $C, D$ 两点（各割线均有两个互异的有限交点，其中 $C \neq A, D \neq B$）；

(i) 若直线 $AR, BR$ 的斜率之和为 $0$，证明：直线 $AB$ 过定点；

(ii) 若 $k = 2$，证明：直线 $CD$ 过定点.