第 068 题 / 121

【第三期 · 原第13题】
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2\sqrt{5},0)$，离心率为 $\sqrt{5}$。

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1},A_{2}$，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点 $P$。证明：点 $P$ 在定直线上。