第 070 题 / 121

【第三期 · 原第15题】
已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > 0, b > 0\right)$ 的右焦点 $F\left( c,0\right) \left( c > 0\right)$ 到一条渐近线 $y = 2\sqrt{2}x$ 的距离为 $2\sqrt{2}$，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $P$、$Q$．

(1)求 $C$ 的方程；

(2)若直线 $l$ 斜率为 1，双曲线 $C$ 的左焦点为 $F'$，点 $D\left( 0,2\right)$，$B$ 为线段 $PQ$ 的中点，若 $DF' \perp BF'$．求直线 $l$ 的方程；

(3)已知 $M\left( -4,0\right), N\left( 4,0\right)$，若 $P, Q$ 在双曲线 $C$ 的右支上，直线 $l$ 过点 $N$，直线 $PM$ 与直线 $x = \frac{1}{4}$ 交于点 $A$．证明：直线 $AQ$ 恒过定点．