第 071 题 / 121

【第三期 · 原第16题】
已知双曲线 $C : \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，虚轴长为 2，且点 $P(2,1)$ 在双曲线 $C$ 上.

(1)求双曲线 $C$ 的方程.

(2)斜率为 -1 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点(异于点 $P$).

① 若直线 $AP, BP$ 的斜率分别记为 $k_1, k_2$，$k_1 + \lambda k_2 = 0$，求 $\lambda$ 的值.

②若 $\triangle PAB$ 的外接圆圆心为 $M$，试问在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ 使 $|MQ|^2 - |MP|^2$ 为定值? 若存在,求出 $Q$ 点坐标; 若不存在, 请说明理由.