第 072 题 / 121

【第三期 · 原第17题】
如图, $F_{1},F_{2}$ 分别为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ 的左、右焦点. $M, N$ 分别为双曲线左、右支上位于 $x$ 轴上方的点,且满足 $MF_{1}\parallel NF_{2}$ ,设直线 $F_{1}N$ 与 $F_{2}M$ 相交于点 $P$ .

(1) 若 $|NP| = 3|PF_{1}|$ ,求直线 $MF_{1}$ 的斜率;

(2)当点 $M, N$ 在双曲线上运动时，

( i ) 证明: $\frac{1}{|MF_{1}|} + \frac{1}{|NF_{2}|}$ 为定值;

(ii) 证明: 点 $P$ 在一个椭圆上运动,并求出该椭圆方程.