第 074 题 / 121

【第三期 · 原第19题】
已知椭圆 $E : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1\;(a > 1)$，过 $E$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线被 $E$ 截得的线段长为 $\sqrt{2}$。

(1) 求 $E$ 的离心率。

(2) 设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G(t,0)\;(t \neq 0)$，$A(x_{0},y_{0})\;(y_{0} \neq 0)$ 为 $E$ 上的点，过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B$，直线 $AO$ 与直线 $GB$ 的交点为 $P$。当 $A$ 在 $E$ 上运动且两直线有交点时，点 $P$ 的轨迹为 $M$。

(i) 求 $M$ 的方程；

(ii) 当 $t$ 为何值时，$M$ 有对称中心？当 $M$ 有对称中心时，将 $M$ 平移后得到曲线 $M'$，使得 $O$ 为 $M'$ 的对称中心，说明 $M'$ 是什么曲线。