第 075 题 / 121

【第三期 · 原第20题】
已知椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的左、右顶点分别为 $A, B,\left| AB\right| = 4$ ,直线 $y = 1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, $\left| PQ\right| = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ .

(1)求 $C$ 的方程；

(2)点 $M$ 在线段 $PQ$ 上（不含端点），直线 $AM,BM$ 分别交 $C$ 于 $D, E$ 两点，直线 $AE,BD$ 交于点 $N$ .

(i) 证明: $MN \bot AB$ ;

(ii) 判断 $y$ 轴上是否存在定点 $T$ ,使得 $\left| NT\right| + \left| NM\right|$ 为定值. 若存在,求出 $T$ 的坐标; 若不存在,说明理由.