第 076 题 / 121

【第三期 · 原第21题】
双曲线 $E : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > 0, b > 0\right)$ 的一个顶点在直线 $l : y = x + 1$ 上，且其离心率为 $\sqrt{5}$ .

(1)求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$ .

(i) 设点 $T$ 的横坐标为 $t$，求 $t$ 的取值范围；

(ii) 设直线 $TP$ 和直线 $TM$ 分别与直线 $x = -1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$，证明: 直线 $PN$ 和直线 $MQ$ 交点在定直线上.

(附: 双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 以点 $\left( m, n\right)$ 为切点的切线方程为 $\dfrac{m}{a^{2}}x - \dfrac{n}{b^{2}}y = 1$)