第 077 题 / 121

【第三期 · 原第22题】
已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ 右焦点为 $F$，点 $M\left( {\sqrt{3},\frac{1}{2}}\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $MF \bot x$ 轴，过点 $M$ 且与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $P, A$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，点 $R$ 是椭圆 $C$ 上异于点 $M$ 的一动点.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)若三角形 $MPR$ 的面积为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求直线 $MR$ 的方程；

(3)设过点 $A$ 的直线与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $Q$，与曲线 $y = \frac{x + 2}{2\left( {x + 1}\right)}$ 的另一个交点为 $\mathrm{S}$，若直线 $RQ$ 斜率为 $- \frac{1}{2}$，试证明: 直线 $SR$ 过定点.