第 079 题 / 121

【第三期 · 原第24题】
已知点 $A(2,3), B(2,1)$，双曲线 $C : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程是 $y = x$，直线 $AB$ 被 $C$ 截得的弦长为 $2\sqrt{3}$。

(1) 求 $C$ 的方程。

(2) 已知 $P, Q$ 是 $C$ 的右支上不同的两点，且存在实数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AQ}$。

(i) 若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{PD} = \lambda \overrightarrow{DQ}$，求证：点 $D$ 总在某定直线上；

(ii) 若直线 $PB$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$（异于 $Q$），求证：直线 $QR$ 过定点，并求出该定点的坐标。