第 081 题 / 121

【第三期 · 原第26题】
已知直线 $l_{1} : y = \frac{\sqrt{2}}{2}x$，$l_{2} : y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x$，动点 $A, B$ 分别在直线 $l_{1}, l_{2}$ 上，$|AB| = 2\sqrt{2}$，$P$ 是线段 $AB$ 的中点，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$.

(1)求曲线 $E$ 的方程.

(2)若直线 $l : y = x + m$ 与 $E$ 相交于 $M, N$ 两点，在 $y$ 轴上是否存在点 $C$，使得 $\triangle MNC$ 为正三角形? 若存在，求出 $l$ 的方程及点 $C$ 的坐标; 若不存在，请说明理由.