第 082 题 / 121

【第三期 · 原第27题】
已知 $A$、$B$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1(a > 1)$ 的左顶点和下顶点, $P$ 为直线 $x = 3$ 上的动点, $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP}$ 的最小值为 $\frac{59}{4}$ .

(1)求 $E$ 的方程；

(2)设 $PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $D,PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$ ,问: 是否存在点 $P$ ,使得四边形 $ABCD$ 为梯形,若存在, 求 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由.