第 083 题 / 121

【第三期 · 原第28题】
已知椭圆 $C : \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\ (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，B 为上顶点，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，直线 $BF_{2}$ 与圆 $4x^{2} + 4y^{2} - 3 = 0$ 相切.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2) 过 $F_{2}$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，

(i) 若 $\overrightarrow{MF_{2}} = \lambda \overrightarrow{F_{2}N}\ (1 < \lambda < 2)$，求 $\triangle MON$ 面积的取值范围；

(ii) 若 $l$ 斜率存在，是否存在椭圆 $C$ 上一点 $Q$ 及 $x$ 轴上一点 $P(x_0,0)$，使四边形 $PMQN$ 为菱形？若存在，求 $x_0$；若不存在，请说明理由.