第 085 题 / 121

【第三期 · 原第30题】
已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > 0, b > 0\right)$ 的离心率 $e = 3$，其上顶点为 $A\left( 0,1\right)$，过点 $P\left( 0, - 4\right)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与双曲线的两支分别相交于 $M, N$ 两点（$N$ 在双曲线 $C$ 的上支）且与 $x$ 轴相交于 $D$ 点，直线 $AM$ 与 $x$ 轴相交于 $E$ 点.

(1)求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)设直线 $AM,AN$ 的斜率分别为 $k_{1},k_{2}$，求证: $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值;

(3)是否存在直线 $l$ 使得 $\triangle MDE \sim \triangle MAN$，若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.